千葉大学(文系) 2025年　問題1(2)


$a\ を実数とする。方程式 \ \ x^3-3ax+\dfrac{1}{\sqrt{2}}=0 \ \ が虚数解を持つ \ a\ の範囲を求めよ。$


$一般に、3\ 次代数方程式は \ 3\ つの解をもつ(代数学の基本定理)ので、虚数解をもつときは、1\ つは実数解で$

$2\ つは互いに共役な虚数解となる。本問は 「x^3-3ax+\dfrac{1}{\sqrt{2}}=0 \ \ がただ1つの実数解を持つ \ a\ の範囲を求めよ。」$

$ということと同値である。$


$f(x)= x^3-3ax+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \quad とおくと \quad f'(x)=3x^2-3a=3(x^2-a)$

$(1)\ \ a > 0 \ \ のとき$

　

$f'(x)=0 \quad より \quad x=\pm \sqrt{a}$

$増減表$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x & \cdots & -\sqrt{a} & \cdots & \sqrt{a} & \cdots \\ \hline f'(x)'& + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x)& \nearrow & 極大 & \searrow & 極小 & \nearrow\\ \end{array} \]
$x=-\sqrt{a} \ で \ f(x)\ は極大となり、極大値は$

$\quad f(-\sqrt{a})=-a \sqrt{a}+3a\sqrt{a}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}=2a\sqrt{a}+\dfrac{1}{\sqrt{2}} > 0$

$x=\sqrt{a} \ で \ f(x)\ は極小となり、極小値は$

$\quad f(\sqrt{a})=a \sqrt{a}-3a\sqrt{a}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}=-2a\sqrt{a}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$f(x)=0 が \ 1\ つの実数解をもつ条件は \ \ f(\sqrt{a}) > 0\ \ だから$

$-2a\sqrt{a}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}>0$

$a\sqrt{a} < \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$

$a^3 < \dfrac{1}{8}$

$\therefore \ \ 0 < a < \dfrac{1}{2}$


$(2)\ \ a = 0 \ \ のとき$


$x^3=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$これを満たす実数解は \ 1\ 個あり、x=-\dfrac{1}{\sqrt[6]{2}}$


$(3)\ \ a < 0 \ \ のとき$

　

$f'(x) > 0 \ \ だから \ \ f(x)\ は単調増加$

$f(x)=0\ \ を満たす実数解は \ 1\ 個ある。$

$(1),(2),(3)より \quad x^3-3ax+\dfrac{1}{\sqrt{2}}=0 \ \ が虚数解を持つ \ a\ の範囲は　a < \dfrac{1}{2}$


$別解 \quad 分数関数の微分法を用いた方法 \ \ (理系用)$

$x^3-3ax+\dfrac{1}{\sqrt{2}}=0 \ \ より \quad \dfrac{x^2}{3}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}x}=a $

$f(x)=\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}x} \quad とおく$

$f(x)=a \ \ の実数解は \ \ y=f(x)\ と直線 \ y=a \ \ の交点の \ x\ 座標だから \ y=f(x)\ のグラフをかく$

$f'(x)=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3\sqrt{2}x^2}=\dfrac{2\sqrt{2}x^3-1}{3\sqrt{2}x^2}$

$f'(x)=0 \ \ より \ \ x^3=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2^{\frac{3}{2}}} \qquad \therefore \ \ x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$増減表$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x & \cdots & 0 & \cdots & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \cdots \\ \hline f'(x)& - & / & - & 0 & + \\ \hline f(x)& \searrow & / & \searrow & 極小 & \nearrow\\ \end{array} \] $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \ で \ f(x)\ は極小となり、極小値は$

$f(\dfrac{1}{\sqrt{2}})=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}} \times \sqrt{2}=\dfrac{1}{2}$

　

$y=f(x)\ のグラフは右図のとおりで、y=f(x)\ と$

$直線 \ y=a \ \ の交点(実数解)の個数は$

\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} a > \dfrac{1}{2}\ \ のとき \ 3\ 個\\ a = \dfrac{1}{2}\ \ のとき \ 2\ 個\ \ （x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\ \ は重解）\\ a < \dfrac{1}{2}\ \ のとき \ 1\ 個\\ \end{array} \right. \]
$したがって \quad x^3-3ax+\dfrac{1}{\sqrt{2}}=0 \ \ が虚数解を持つ \ a\ の範囲は \quad a < \dfrac{1}{2} $


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