千葉大学(文系) 2025年　問題1(1)


$12^{77} \ \ の桁数および最高位の数字を求めよ。$
$ただし、\log _{10}2=0.3010,\ \ \log_{10}3=0.4771\ \ とする。$


$常用対数の底 \ 10\ は省略することにします。$

\begin{eqnarray*} \log 12^{77} &=&77\log 12\\ \\ &=&77\log (2^2 \times 3)\\ \\ &=&77(2\log 2 + \log 3)\\ \\ &=&77(2 \times 0.3010 + 0.4771)\\ \\ &=&77 \times 1.0791\\ \\ &=&83.0907\\ \end{eqnarray*} $83 < \log 12^{77} < 84$

$10^{83} < 12^{77} < 10^{84} \quad だから \quad 12^{77} \ \ は \ 84\ 桁の数$

$また、仮数(小数部分のこと)について \quad 0.0907 < 0.3010=\log 2 \quad だから \quad 12^{77}\ の最高位の数字は \ 1 $


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