チェビシェフの不等式 (重み付きの場合)


$(1)\ \ 2\ 文字の場合$

$\qquad a \geqq b >0,\quad x \geqq y >0,\quad p_1 >0,\ \ p_2 >0,\ \ p_1+p_2=1 \ \ のとき$

$\qquad (p_1a+p_2b)(p_1x+p_2y) \leqq p_1ax+p_2by \qquad 等号は \ \ a=b\ \ または \ \ x=y \ \ のとき$


$(証明)$
\begin{eqnarray*} & &(p_1ax+p_2by)-(p_1a+p_2b)(p_1x+p_2y)\\ \\ &=&(p_1ax+p_2by)(p_1+p_2)-(p_1a+p_2b)(p_1x+p_2y)\\ \\ &=&(p_1^2ax+p_2^2by) +p_1p_2(ax+by)-(p_1^2ax+p_2^2by)-p_1p_2(ay+bx)\\ \\ &=&p_1p_2(ax+by)--p_1p_2(ay+bx)\\ \\ &=&p_1p_2(ax+by-ay-bx)\\ \\ &=&p_1p_2(a-b)(x-y)\\ \\ &\geqq&0 \end{eqnarray*}

$(2)\ \ 3\ 文字の場合$

$\quad a \geqq b \geqq c >0,\quad x \geqq y \geqq z >0,\quad p_1 >0,\ \ p_2 >0,\ \ p_3 >0, \ \ p_1+p_2+p_3=1 \ \ のとき$

$\qquad (p_1a+p_2b+p_3c)(p_1x+p_2y+p_3z) \leqq p_1ax+p_2by+p_3cz \qquad 等号は \ \ a=b=c \ \ または \ \ x=y=z \ \ のとき$


$(証明)$
\begin{eqnarray*} & &(p_1ax+p_2by+p_3cz)-(p_1a+p_2b+p_3c)(p_1x+p_2y+p_3z)\\ \\ &=&(p_1ax+p_2by+p_3cz)(p_1+p_2+p_3)-(p_1a+p_2b+p_3c)(p_1x+p_2y+p_3z)\\ \\ &=&(p_1^2ax+p_2^2by+p_3^2cz)+p_1p_2(ax+by)+p_1p_3(ax+cz)+p_2p_3(by+cz)\\ & &\qquad -(p_1^2ax+p_2^2by+p_3^2cz)-p_1p_2(ay+bx)-p_1p_3(az+cx)-p_2p_3(bz+cy)\\ \\ &=&p_1p_2(ax+by)+p_1p_3(ax+cz)+p_2p_3(by+cz)-p_1p_2(ay+bx)-p_1p_3(az+cx)-p_2p_3(bz+cy)\\ \\ &=&p_1p_2(ax+by-ay-bx)+p_1p_3(ax+cz-az-cx)+p_2p_3(by+cz-bz-cy)\\ \\ &=&p_1p_2(a-b)(x-y)+p_1p_3(a-c)(x-z)+p_2p_3(b-c)(y-z)\\ \\ &\geqq&0 \end{eqnarray*}

$(3)\ \ n\ 文字の場合$

$\quad a_1 \geqq a_2 \geqq \cdots \geqq a_n >0,\quad b_1 \geqq b_2 \geqq \cdots \geqq b_n >0,\quad p_1 >0,\ \ p_2 >0,\cdots ,p_n >0, \ \ p_1+p_2+ \cdots +p_n=1 \ \ のとき$

$\qquad (p_1a_1+\cdots +p_na_n)(p_1b_1+\cdots +p_nb_n) \leqq p_1a_1b_1+\cdots +p_na_nb_n \qquad 等号は \ \ a_i=a_j\ \ または \ \ b_i=b_j \ \ のとき$


$(証明)$
\begin{eqnarray*} & &(p_1a_1b_1+\cdots +p_na_nb_n)-(p_1a_1+\cdots +p_na_n)(p_1b_1+\cdots +p_nb_n)\\ \\ &=&(p_1a_1b_1+\cdots +p_na_nb_n)(p_1+p_2+ \cdots +p_n) -(p_1a_1+\cdots +p_na_n)(p_1b_1+\cdots +p_nb_n)\\ \\ &=&\sum _{i=1}^n p_i^2a_ib_i + \sum _{i \ne j}p_ip_ja_ib_i -\sum _{i=1}^n p_i^2a_ib_i - \sum _{i \ne j}p_ip_ja_ia_j \\ \\ &=&\sum _{i \ne j}p_ip_j(a_ib_i -a_ia_j) \\ \\ &=&\sum _{i < j} p_ip_j(a_ib_i + a_jb_j-a_ia_j-a_ja_i) \\ \\ &=&\sum _{i < j} p_ip_j(a_i-a_j)(b_i -b_j)\\ \\ &\geqq&0 \end{eqnarray*} $なお、下から \ 3\ 行目は \ \ i \ne j\ \ を \ \ i < j \ \ と変えてあるがこれは$

$\qquad p_1p_2a_1b_1+p_2p_1a_2b_2=p_1p_2(a_1b_1+a_2b_2),\qquad p_1p_2a_1b_2+p_2p_1a_2b_1=p_1p_2(a_1b_2+a_2b_1)$


$などの変形である。$



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